貝塔在算什麼

這一頁寫給學過高中數學、但沒學過投資理論的人。讀完之後你會知道：貝塔為什麼看「年複合成長率」而不是平均報酬、它怎麼決定每一項資產該佔多少，以及它給出的數字該怎麼讀。

第 1 章它在回答什麼問題

你告訴貝塔三件事：

• 你現在持有什麼（股票、ETF、債券、現金、期貨……）
• 有沒有可以借的錢，利率多少
• 你能承受從最高點跌多深

它回答一件事：每一項資產佔淨值多少比例，能讓你的資產在長期成長得最快，同時不超過你能承受的下跌。這組比例叫做「目標比例」。

它不回答「明天會漲還是跌」，也不回答「什麼時候買」。它算的是比例，不是時機。

結果分頁的表格並排「現有比例」和「目標比例」，兩者都是佔淨值的比例。目標比例旁的 ▲ ▼ ＝ 表示目標比現在高、低或一樣，只講比例，不是買賣指示。你決定以這組目標為準、按下「採用這組目標」之後，才會顯示每一項與現在部位差多少；要不要照著調整，完全由你決定。

分析分頁的每一個問題，都是在同一份投組上改一個條件重算一次，讓你看到答案對哪些假設敏感。它們用到的概念散在後面各章，分頁上的名詞可以直接點到對應的段落。

第 2 章漲 50% 再跌 50%：波動會吃掉成長

假設你有 100 元，第一年漲 50%，第二年跌 50%。兩年的平均報酬是 (50% − 50%) ÷ 2 = 0%，聽起來沒賺沒賠。但實際上：

$$100 \times 1.5 \times 0.5 = 75$$

你少了 25 元。換算成每年，是每年 −13.4% （因為 $\sqrt{0.75} \approx 0.866$，也就是每年乘上 0.866 倍）。

問題出在財富是一年乘一年累積的，不是一年加一年。長期來看，真正決定你最後有多少錢的，是「平均每年乘上幾倍」，也就是年複合成長率。它有一個好用的近似公式：

$$\text{年複合成長率} \approx \text{平均報酬} - \frac{1}{2}\,\text{波動度}^2$$

預期平均報酬

公式裡的「平均報酬」是把每一年的報酬直接加起來再平均，就像上面例子的 (50% − 50%) ÷ 2 = 0%。它只看每年漲跌了幾 %，不管財富是一年乘一年累積的，所以會高估你長期實際拿到的成長。後面的公式把它記作 $\mu$。

結果分頁的「預期平均報酬」就是這組比例的平均報酬：在貝塔的估計下，這組比例一年平均大約有多少報酬。

• 它是每一項資產的預期報酬照比例加總起來的。每一項的預期報酬怎麼估，見第 7 章「預期報酬從哪裡來」。
• 它扣掉下面說的波動拖累，就是旁邊的「預期年複合成長率」。所以它不會比年複合成長率低，只有完全沒有波動時兩者才相等。
• 比較兩組比例時要看年複合成長率：平均報酬比較高，不代表長期累積得比較多。

年化波動度

「波動度」是報酬上下晃動的幅度（統計上的標準差）；換算成一年的幅度，就叫年化波動度，這一頁說的波動度都是年化的，公式裡記作 $\sigma$。上面的例子平均報酬 0%、波動度 50%，近似公式給出 $0\% - \frac{1}{2} \times (50\%)^2 = -12.5\%$，跟實際的 −13.4% 很接近；波動度愈小，近似愈準。

波動拖累

這個公式是整個工具的起點。它說：波動本身會吃掉成長，而且吃掉的量跟波動度的平方成正比。被吃掉的那一項 $\frac{1}{2}\,\text{波動度}^2$ 叫做「波動拖累」。兩個平均報酬一樣的選擇，波動小的那個長期會累積得比較多。

預期年複合成長率

結果分頁的「預期年複合成長率」是這組比例長期每年大約成長多少，公式裡記作 $g$。用這些符號，開頭的近似公式寫成：

$$g \approx \mu - \frac{1}{2}\,\sigma^2$$

貝塔分兩步算出來：

1. 估出每一項資產的預期平均報酬（第 7 章），以及年化波動度和彼此的相關係數（第 8 章）。
2. 用多資產版本的公式（第 6 章），拿整組比例的預期平均報酬，扣掉整組比例的波動拖累。

它是模型算出來的數字，不是預測；估計的報酬本身就有很大的誤差（第 7 章）。

數學上，這個「平均每年乘上幾倍」就是取 log 之後的平均：log 把乘法變成加法，所以長期財富的 log 是每年報酬的 log 加總。最大化年複合成長率，等於最大化期望的 log 財富。

模擬：平均報酬與年複合成長率

用下面的模擬器自己試試。有一項資產的預期平均報酬是 8%、波動度 18%（跟第 3 章的股票指數一樣），你 20 歲時放進 10 萬元。每過一年，就從圖上的常態分布隨機抽出那一年的報酬。抽的年數愈多，抽到的報酬平均起來愈接近 8%，年複合成長率卻會落在公式算的 8% − ½ × 18%² ≈ 6.4% 附近，比平均報酬低。

第 3 章押多少：Kelly 準則

先看最簡單的情況：只有兩個選擇，一個股票指數，和現金。假設股票指數的平均年報酬是 8%、波動度 18%，現金的利率是 2%。你把淨值的 $w$ 放進股票，其餘放現金。 $w$ 可以超過 100%，那代表借錢來買（槓桿）。

把第 2 章的公式套上去，你的年複合成長率是 $w$ 的二次函數：

$$g(w) = 2\% + w \times (8\% - 2\%) - \frac{1}{2} w^2 \times (18\%)^2$$

$w^2$ 的係數是負的，所以它是一條開口向下的拋物線，頂點就是成長最快的比例。用高中學過的頂點公式 $-\frac{b}{2a}$：

$$w^* = \frac{8\% - 2\%}{(18\%)^2} \approx 185\%$$

把現金利率記作 $r$，一般的頂點是 $w^* = (\mu - r) / \sigma^2$。

這就是 Kelly 準則：在這些假設下，長期成長最快的做法，是借錢把股票押到淨值的 185% 左右，年複合成長率約 7.6%。比較幾個點：

• 1/4 Kelly 只押頂點的四分之一，波動度也只有四分之一，成長率卻已經比全部放現金高不少，本章最後的「部分 Kelly」再講。
• 最後一列最值得注意：押到 2 倍 Kelly，成長率掉回跟全部放現金一樣；再押更多，就比現金還差——即使股票的平均報酬明明比現金高。押太多，平均報酬再好也會被波動吃光。

Kelly 準則出自 Kelly（1956），〈A New Interpretation of Information Rate〉，Bell System Technical Journal 35(4)：917–926，原本講的是重複下注時每次該押多少。用在可以隨時調整比例的股票上、寫成 $w^* = (\mu - r) / \sigma^2$ 的形式，見 Merton（1969），〈Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case〉，Review of Economics and Statistics 51(3)：247–257。

模擬：哪一個比例最後最多

上面的表格是公式算出來的長期成長率。用下面的模擬器實際比一場：表格裡的五個比例放進同一個市場，你 20 歲時各放 10 萬元，放 30 年。每一天抽到的漲跌都一樣，差別只在押進股票的比例。多跑幾次，看看：

• 哪一個比例最常拿第一，期末的中位數最高。
• 1/4 Kelly 跟 Kelly 比，中位數少多少，路上腰斬少多少。
• 押到 2 倍 Kelly，有多常輸給全部放現金。
• 拿第一的那個比例，路上有多常從最高點跌掉一半。

部分 Kelly

頂點附近的拋物線很平：比頂點少押一點，成長率只少一點。把比例寫成頂點的 $f$ 倍，$w = f w^*$，代進 $g(w)$：

$$\begin{aligned} g - r &= \frac{(\mu - r)^2}{2\sigma^2} \times (2f - f^2) \\ &= \frac{(\mu - r)^2}{2\sigma^2} \times \left[ 1 - (1 - f)^2 \right] \end{aligned}$$

$f = 1$ 就是 Kelly 頂點。所以押 Kelly 比例的 $f$ 倍，叫 $f$ Kelly（例如半 Kelly），比全部放現金多拿的成長是 Kelly 的 $1 - (1 - f)^2$，波動度則是 Kelly 的 $f$ 倍：

• 半 Kelly（押 93%）用一半的波動度，拿到 75% 的超額成長。
• 1/4 Kelly（上面表格的 46%）只用四分之一的波動度，還拿到 44%。
• 多押也一樣對稱：押 1.5 倍 Kelly，超額成長同樣只剩四分之三，波動度卻是 1.5 倍，所以押過頭永遠不划算。
• 貝塔不固定押某個 Kelly 比例。它從你能承受的下跌算出波動度上限（第 4 章），比例由上限決定；部分 Kelly 是用來看少押一點要付出多少成長。

資產不只一項時道理一樣，第 6 章再講。先回答一個問題：貝塔為什麼不直接叫你借錢押 185%？

第 4 章你能承受多深的下跌

長期成長最快，不代表過程受得了。成長率只看終點，不看路上會跌多深。如果資產在某個時候從最高點腰斬，很多人會在最低點賣掉，那長期的成長就永遠等不到了。

假設報酬每年的晃動方式大致不變（數學上叫幾何布朗運動），就能算出「往後 $T$ 年內，從最高點跌掉 $D$ 以上」的機率。它由四個數字決定：

• $g$：第 2 章的年複合成長率。成長得愈快，愈快離開前一個高點，愈不容易深跌。
• $\sigma$：波動度。波動愈大，愈容易跌深。
• $D$：跌多深才算。
• $T$：看幾年。看得愈久，愈有機會碰上一次。

最後一項最容易忽略：從最高點算的下跌，只要時間夠長，任何深度終究都會發生。所以講機率一定要講是幾年內。

這個機率沒有簡單的公式。貝塔把「離最高點跌了多少」切成 200 格，一小段時間一小段時間往前推，算出還沒跌到 $D$ 的機率（數學上是解一條擴散方程式）。

套回第 3 章的例子，「從最高點跌掉一半」的機率：

押在頂點，30 年內幾乎一定會經歷一次腰斬；就算只押 100%，30 年內也有將近一半的機會。成長最快，但很少人撐得過去。

模擬：會不會在半路賣掉

用下面的模擬器自己試試。跟第 2 章一樣，資產全部放在股票指數（平均報酬 8%、波動度 18%），你 20 歲時放進 10 萬元，一路放到 100 歲。

• 只要資產從前面的最高點跌掉一半，就當作你受不了、全部賣掉（恐慌賣出），這條線停在那裡。
• 一直沒有跌掉一半，就算撐過去了。

跌一半才賣是寬鬆的假設，真實的投資人往往更早就撐不住。Krämer（2022），〈The History and Psychology of Panic-Selling〉，Lazard Asset Management：

• 5%–10% 的回檔通常不影響投資人的情緒，常被當成買進的機會。
• 跌 20% 以上的空頭市場，投資人信心大受打擊，很多人會因為害怕再跌而賣掉。
• 美國 S&P 500 指數 1952–2022 年間，跌 10% 以上平均一年一次，跌 20% 以上平均六年一次。

回撤承受度與波動度上限

貝塔把這個機率反過來用。簡易模式裡的三題，問的就是 $D$、$T$ 和機率 $p$，合起來是你的「回撤承受度」：

• 「你能承受多深的下跌？」問的是 $D$。
• 「這個機率要看往後幾年？」問的是 $T$。
• 「這麼深的下跌，你願意接受它在這幾年內真的發生的機率是多少？」問的是 $p$。

波動度愈大，跌到 $D$ 的機率愈高。所以貝塔找出機率剛好等於 $p$ 的那個波動度，那就是投組的波動度最多能有多大，叫「波動度上限」。

例如投組的年複合成長率是 6%、你能接受「30 年內跌一半的機率不超過 10%」，波動度上限就是 13.4%。其他組合（都看 30 年）：

波動度上限咬住

於是貝塔解的問題是：在波動度不超過這個上限的前提下，讓第 3 章的 $g$ 最大。答案有兩種情況：

1. 如果 Kelly 的頂點本來就在上限之內，答案就是頂點（交易成本、鎖住不動的部位這類條件會讓它再偏一點）。
2. 如果不在，答案停在上限的邊緣——那是你能承受的範圍裡，成長最快的一點。

結果分頁並排兩個數字：

• 「年化波動度」是這組比例的波動度。
• 「波動度上限」就是上面算出來的上限。

兩者一樣時，就是第二種情況，分析分頁稱為「波動度上限咬住」：想要更高的成長率，就得接受更深或更常發生的下跌。

回撤上限是機率，不是保證

這個機率有兩個假設：

• 報酬的晃動方式長期不變。
• 價格連續變動，你可以定期把比例調回目標。

真實市場會跳空、會有流動性限制，偶爾也有比這個假設更極端的日子。所以你設定的是「幾年內有多少機率從高點跌超過多少」，不是「最多只會跌這麼多」；它是模型下的機率，不是保證，實際的跌幅可能更大。

第 5 章借錢與槓桿

第 3 章說 Kelly 的頂點在 185%，那時假設借錢的利率跟現金一樣是 2%。現實中借款利率比較高，槓桿也不只借款一種。

損益兩平利率

假設借款利率是 $b$。淨值 1、股票 $w$（$w > 1$）、借 $w - 1$ 時：

$$g(w) = w\mu - (w - 1)\,b - \frac{1}{2} w^2 \sigma^2$$

對 $w$ 微分等於 0，得 $w^* = (\mu - b) / \sigma^2$。要值得借錢，$w^*$ 必須大於 1，也就是

$$b \lt \mu - \sigma^2$$

用第 3 章的數字，借款利率要低於 4.8% 才值得借來買股票，這個利率叫「損益兩平利率」。分析分頁的「該不該借這筆錢」算的就是這件事，只是用的是你整份投組，並且把第 4 章的波動度上限和第 7 章的估計誤差一起算進去——它回答「利率要漲到多少，模型才不再動用這筆借款」。

波動度上限常常比利率更早卡住。第 4 章的例子上限是 13.4%，股票波動度 18% 時，最多只能押到 74%：連全部放股票都超過上限，不管利率多低都不會借錢。

淨值、總資產與資金來源

借錢之後有兩個數字要分清楚：

• 淨值是你自己的錢（資產減掉借款）。目標比例的分母一律是淨值，所以借了錢，各項加起來會超過 100%。
• 總資產是淨值加上借來的錢，也就是實際買進的東西。結果分頁的圓餅畫的是總資產放在哪裡，百分比也是佔總資產。

圓餅旁邊那條「資金來源」畫的是總資產裡多少是自己的、多少是借的。借款是資金來源，不是一項資產，所以不在圓餅裡。

期貨

期貨是另一種槓桿。買一口股價指數期貨，拿到的是指數漲跌的曝險，卻不用付出整筆本金，只要在帳戶裡放保證金。它的預期報酬是指數的報酬減掉隱含的融資利率（大約是該幣別的無風險利率），所以它等於「用無風險利率借錢買指數」，通常比個人借款便宜。代價是：

• 期貨每天結算，虧損當天就從保證金扣掉。貝塔會要求同幣別的現金足以支應保證金再多留一些緩衝。
• 期貨的曝險一樣算進投組的波動度，一樣受第 4 章的上限約束。

所以借款、期貨與「不借」是在同一個式子裡一起比較的：哪一種槓桿最便宜、要用多少，由成長率與波動度上限決定。

曝險

期貨不佔用資本，所以也不在圓餅裡。有期貨時，結果分頁另外列出「曝險」：把期貨的名目金額算進它所屬的類別，分母是淨值。曝險合計超過 100% 的部分，就是借款與期貨帶來的槓桿；放在帳上當保證金的現金不算曝險。

第 6 章兩項資產比一項好

第 3 章只有一項會晃動的資產。先看兩項：資產 X 與資產 Y 一年的報酬是兩個隨機變數 $X$、$Y$，平均報酬是 $\mu_1$、$\mu_2$，波動度是 $\sigma_1$、$\sigma_2$，兩者的相關係數是 $\rho$。比例 $w_1$ 放 X、$w_2$ 放 Y，其餘放利率 $r$ 的現金，道理跟第 3 章一樣，年複合成長率是平均報酬減掉變異數的一半：

$$\begin{aligned} g &= r + w_1 (\mu_1 - r) + w_2 (\mu_2 - r) \\ &\quad - \frac{1}{2} \operatorname{Var}(w_1 X + w_2 Y) \end{aligned}$$

現金不會晃動，所以投組的變異數只看 X 與 Y 那兩份。用高三學過的

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(w_1 X + w_2 Y) &= w_1^2 \operatorname{Var}(X) + w_2^2 \operatorname{Var}(Y) \\ &\quad + 2 w_1 w_2 \operatorname{Cov}(X, Y) \end{aligned}$$

其中 $\operatorname{Var}(X) = \sigma_1^2$、$\operatorname{Var}(Y) = \sigma_2^2$，共變異數是相關係數乘上兩個波動度，$\operatorname{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2$，所以

$$\operatorname{Var}(w_1 X + w_2 Y) = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \rho \sigma_1 \sigma_2$$

看兩項資產各佔一半、波動度都是 18% 的情況，也就是 $w_1 = w_2 = \frac{1}{2}$、$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$。比例要一直維持各半，所以要定期再平衡，下面的模擬會講。代進上式：

$$\begin{aligned} \sigma_{\text{投組}}^2 &= \tfrac{1}{4} \sigma^2 + \tfrac{1}{4} \sigma^2 + 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \rho \sigma^2 \\ &= \tfrac{1}{2} \sigma^2 + \tfrac{1}{2} \rho \sigma^2 = \frac{1 + \rho}{2} \sigma^2 \end{aligned}$$

兩邊開根號，投組的波動度只看相關係數 $\rho$：

$$\sigma_{\text{投組}} = \sigma \sqrt{\frac{1 + \rho}{2}} = 18\% \times \sqrt{\frac{1 + \rho}{2}}$$

只要兩項資產不是永遠同漲同跌，放在一起的波動就比各自小，被波動吃掉的成長也跟著變少——平均報酬一點都沒變，年複合成長率卻變高了。這是投資裡少數「不用多承擔風險就多拿報酬」的地方。它已經在式子裡：只要知道每一項的預期報酬與波動度，最大化這條式子自然就會分散，不需要另外規定。實際上預期報酬估不準，貝塔因此再加了一小項「分散係數」，把比例往平均拉一點，第 10 章再講。

模擬：全放一項還是各放一半

用下面的模擬器實際比：資產 X 與資產 Y 的平均報酬都是 8%、波動度都是 18%，你 20 歲時放 10 萬元，放 30 年。事前能做的選擇有兩種：

• 選一項全放：事前看不出 X 和 Y 哪一項會比較好，等於丟硬幣決定全放 X 還是全放 Y。
• 各放一半，定期再平衡：X 和 Y 各放一半，之後漲多的賣一點、跌多的買一點，定期調回各半（模擬裡每天調一次）。只在一開始各放一半、之後放著不管的話，漲多的那一項會愈佔愈多，慢慢變回接近全放一項，分散的好處也跟著變少。

圖上畫的是全放 X、全放 Y 與各放一半三條線。跑完一場，最高的常常是全放 X 或全放 Y，但哪一項比較好是事後才知道的，所以要比的是丟硬幣選一項和各放一半。拉動相關係數，多跑幾次，看看：

• 各放一半贏過丟硬幣選一項的場次有多少。
• 各放一半的期末中位數比丟硬幣選一項高多少，路上腰斬的次數少多少。
• 相關係數愈低，差距愈大；相關係數是 1 時，三條線疊在一起。

為什麼最高的那一條常常是全放一項，各放一半卻比較常贏：

• 各放一半的結果大約是 X 與 Y 的平均，再加上分散的好處。兩項的平均一定比事後較好的那一項低，所以單看一場，最高的常常是全放一項。
• 但事前不知道是哪一項。丟硬幣選一項，選中好的和選中差的機會各半；各放一半在多數場次贏過它，中位數也比較高。
• 兩種選擇的平均期末資產一樣，因為平均報酬都是 8%。分散沒有提高平均，而是把結果收窄：翻非常多倍的場次少了，腰斬的場次也少了，一般會碰到的結果變好。這就是第 2 章講的年複合成長率。

很多項資產

推廣到很多項：比例變成一組 $w_1, w_2, \dots$，變異數與共變異數寫成 $\sigma_{ij}$，也就是第 $i$ 項與第 $j$ 項的共變異數（$\sigma_{ii}$ 就是第 $i$ 項自己的變異數，兩項時 $\sigma_{12} = \rho \sigma_1 \sigma_2$）：

$$g = r + \sum_i w_i (\mu_i - r) - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij}$$

只有兩項時把兩個加總展開，就是上面的式子。這就是貝塔最大化的式子。

最佳比例在每一個 $w_i$ 的偏微分都等於 0 的地方：

$$\frac{\partial g}{\partial w_i} = (\mu_i - r) - \sum_j \sigma_{ij} w_j = 0$$

意思是：每一項資產多放一點帶來的報酬，剛好等於它帶給整個投組的額外風險。下一章會把這個式子倒過來用。

納入所需 alpha

比例不能是負的（貝塔不放空）。如果某一項資產就算只放一點點，帶來的報酬都比不上它增加的風險，也就是 $(\mu_i - r) \lt \sum_j \sigma_{ij} w_j$，最佳比例就是 0，這一項會被清空。要它被放進來，得相信它比模型估的更好：

• alpha：在模型估的預期報酬之外，你另外相信這一項每年多賺（負的就是少賺）的部分。模型估 6%、你相信 8%，alpha 就是 +2%。
• 納入所需 alpha：被清空的這一項，alpha 至少要多大，模型才會開始放一點。它大約就是上面那條不等式兩邊的差距。
• 例如模型估某一項的預期報酬是 5%，納入所需 alpha 是 +1.5%：你得相信它每年至少有 6.5%，它才值得放進來。
• 波動度上限咬住時，多放一點還得從別處讓出風險，所需的 alpha 會再高一些，所以貝塔是實際重算找出這個數字，不是直接套這條式子。分析分頁「為什麼是這個比例」會列出每一項被清空的部位的納入所需 alpha。

第 7 章預期報酬從哪裡來

前面的例子都假設「股票指數平均年報酬 8%」。實際上這個數字是整個計算裡最難估的。

最直接的做法是拿歷史平均。但平均報酬的標準誤是 $\sigma / \sqrt{T}$（$T$ 是資料的年數）。出處是 Merton（1980），〈On Estimating the Expected Return on the Market: An Exploratory Investigation〉，Journal of Financial Economics 8(4)：323–361；它也指出平均報酬估得多準只看資料涵蓋幾年，把同樣的年數切成月線或日線並不會變準。一檔波動度 26% 的股票，有 12 年資料，標準誤約 7.5%；用常態分布取 95% 信賴區間，是歷史平均的正負 14.7%。歷史平均 15% 的股票，真正的預期報酬可能是 0%，也可能是 30%。

更糟的是最佳化會放大這個誤差：它專門挑預期報酬最高的，而「歷史平均特別高」的資產，很多只是剛好運氣好。直接把歷史平均丟進第 6 章的式子，得到的往往是押重注在過去漲最多的那幾檔。

報酬模型：均衡報酬

貝塔改用另一個思路：全世界所有投資人加起來的持有比例，就是市場本身。把第 6 章最後那個式子倒過來——如果市場的比例 $w_{\text{市場}}$ 就是最佳比例，各項資產的預期報酬應該是多少？

$$\begin{aligned} \mu_i - r &= \lambda \sum_j \sigma_{ij} \, w_{\text{市場},j} \\ &= \beta_i \times (SR_{\text{市場}} \times \sigma_{\text{市場}}) \end{aligned}$$

這叫 Black-Litterman 模型的均衡報酬，出自 Black 與 Litterman（1992），〈Global Portfolio Optimization〉，Financial Analysts Journal 48(5)：28–43；也是數據分頁「報酬模型」寫著「均衡報酬」時用的做法。$\beta_i$ 是這項資產跟著市場漲跌的程度（市場漲 1%，它平均漲 $\beta_i$%），括號裡是整個市場的風險溢酬；式子裡的 $\lambda$ 見本節後面的補充。貝塔用的「市場」是 2025 年底全世界的金融資產：

資料來源：

• 股票：SIFMA《2026 Capital Markets Fact Book》的全球上市公司總市值。
• 債券：同一本書的全球流通在外債務證券，含政府、金融機構與企業發行，數字整理自國際清算銀行（BIS）的債務證券統計。
• 黃金：World Gold Council 的地上黃金存量（Above-ground stocks），只算金條金幣、黃金 ETF、場外持有與央行儲備，不算珠寶與工業用金。

夏普值是超額報酬除以波動度（每承擔一單位風險拿到多少報酬），記作 $SR$。整個市場的夏普值叫市場夏普值，記作 $SR_{\text{市場}}$，跟你自己投組的夏普值是兩回事。貝塔假設 $SR_{\text{市場}}$ 是 0.3。舉例來說，如果這個市場組合的波動度是 10%，市場的風險溢酬就是 $0.3 \times 10\% = 3\%$；一項 $\beta = 1.2$ 的資產，預期報酬就是無風險利率再加 $1.2 \times 3\% = 3.6\%$。

這樣做的好處是：波動度、相關係數與 $\beta$ 都是從歷史資料估的，而這些估起來比平均報酬準得多（下一章）；真正要假設的只剩一個數字，市場夏普值。任何一檔個股的預期報酬，都只由它跟市場的連動決定，不看它過去漲了多少。貝塔因此不預測哪一檔會漲。

市場夏普值怎麼定

市場夏普值是整個模型裡唯一一個「報酬有多高」的假設，其他數字都從歷史價格估。貝塔用 0.3，依據有兩個：

• 它是股票與債券混合的長期投資組合常見的水準。
• 它跟另一種常見的設定一致：股票的風險溢酬常假設為 5%，全球股票指數型 ETF VT 的歷史波動度約 16.6%，5% ÷ 16.6% ≈ 0.30。

它沒有直接從歷史平均報酬算，原因跟本章開頭一樣：歷史平均的誤差太大。

市場夏普值調高或調低時：

• 每一項資產的風險溢酬都等比例變大或變小，因為每一項都是 $\beta_i \times SR_{\text{市場}} \times \sigma_{\text{市場}}$。
• 資產之間風險溢酬的高低順序不變，變的是整體值不值得承擔風險：市場夏普值愈高，模型愈願意多放會晃動的資產、愈願意借錢，直到碰到第 4 章的波動度上限。

預期報酬、beta 與市場代理

數據分頁的預期報酬可以點開，看它由哪幾項組成：無風險利率、上面這一項市場風險溢酬，再加減股息稅、匯率這些調整（第 9 章）。

同一頁有兩種 beta，數字不一樣：

• 表格裡的 beta 欄是對「市場代理」（預設是全球股票指數型 ETF VT）算的，拿來看這一項的風險。
• 算報酬用的是對上面這個股、債、黃金組合的 beta。

第 8 章風險從哪裡來

波動度與相關係數用歷史價格估：每一項資產（或跟它走勢相近的「統計代理」，例如用一個歷史較長的指數代替剛上市的 ETF）的月報酬，預設從 2004 年起。

波動度的歷史估計值

為什麼這些比平均報酬可靠？

• 估波動度用的是每個月的「晃動幅度」，資料愈密，資訊愈多。
• 估平均報酬只看頭尾，資料再密也沒用。

常態分布下，波動度估計值的標準誤約 $\sigma / \sqrt{2n}$ （$n$ 是月數）。波動度 18%、12 年 144 個月的資料，標準誤只有 1.1%，比平均報酬的誤差小得多。

用月報酬而不是日報酬，有兩個原因：

• 台股與美股收盤時間不同，同一天的日報酬對不齊，會把兩地的相關性算得太低。
• 貝塔在乎的是幾個月到幾年的下跌，不是一天的震盪。

相關係數矩陣

相關係數比較麻煩：$n$ 項資產有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 對，10 項就有 45 對，每一對都有估計誤差。最佳化對它特別敏感：兩項其實同漲同跌的資產，只要樣本裡的相關係數稍微偏低，看起來就像互相避險，模型會兩項都買。所以貝塔把每一對相關係數往全體的平均值拉一些，資料愈少拉得愈多（統計上叫收縮估計）。做法出自 Ledoit 與 Wolf（2004），〈Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix〉，Journal of Portfolio Management 30(4)：110–119。

風險計價幣別

幣別也會改變風險。風險用你實際花錢的幣別計算（簡易模式問的「你用哪個幣別過日子」，數據分頁的「風險計價幣別」）：同一組資產，以台幣過日子的人看到的波動度，跟以美元過日子的人不一樣，波動度上限也就不同。但年複合成長率有一個漂亮的性質：取 log 之後，換幣別只是加上一個跟比例無關的常數，所以在沒有波動度上限時，兩種人的最佳比例完全一樣。

資料可能有誤

最後，這些估計都建立在價格資料上。報價與價格歷史來自第三方公開市場資料來源，可能延遲、缺漏或不正確。數據分頁列出這一次用到的數字：每一項的預期報酬、波動度與 beta，實際用到的資料區間與筆數，當下的報價與抓取時間，以及相關係數矩陣。

第 9 章現實裡的摩擦

交易成本

每次買賣都要付手續費與稅（台股賣出還有證交稅）。貝塔把一次性的成本攤在持有期間，從成長率裡扣掉：差一點點的調整，省下的成長率付不起成本，模型就不動。所以目標比例不會為了小數點後的差別叫你頻繁交易。你個人的所得稅、海外所得課稅與匯款成本不在模型裡。

股息稅

配息要繳稅，繳多少看你是哪裡的稅務人、所得稅級距多少，以及標的在哪裡掛牌。以台灣稅務居民為例：

• 美國掛牌的 ETF：股息先被美國預扣 30%，配息率 2% 的 ETF 每年少拿 0.6%。
• 台股股利：併入所得時有 8.5% 的可抵減稅額，級距 12% 的人連同二代健保補充保費約繳 5.6%，級距 5% 的人還會退稅。
• 愛爾蘭註冊的 UCITS ETF（例如 VWRA、CSPX）：配息到你手上不被預扣，但基金收到美股股息時，美國先在基金裡扣 15%。累積型的基金不配息，這筆稅照樣少不了，所以貝塔另外扣 15% × 基金裡美股的比例 × 美股的配息率。

貝塔從每一檔的預期報酬扣掉 配息率 × 稅率，配息率自動抓近兩年的平均。沒告訴貝塔的話，當成台灣稅務居民、級距 12%；可以在「你在哪裡報稅？」那一題改。資本利得稅不在模型裡。

匯率

美元的利率比台幣高，看起來把台幣換成美元定存比較划算。匯率的假設在模型參數裡選：

• 預設是「利率平價」：預期高利率的貨幣會貶值，剛好吃掉利差，所以不會為了利差叫你換匯。
• 也可以改成「匯率不動」，或介於兩者之間。

換匯本身的成本也算在交易成本裡。

第 10 章集中還是分散

第 6 章說，分散不用多承擔風險就能多拿報酬。那貝塔為什麼還會讓某一項佔很大的比例，又為什麼不乾脆每一項平均分？因為式子裡有兩股力量在拉：

• 往分散拉：波動拖累（第 6 章），以及下面的分散係數。
• 往集中拉：預期報酬比較高、或跟其他資產走勢比較不一樣的那幾項，多放一點划得來。

這一章說明想維持集中需要多大的把握，以及你自己的設定怎麼把答案往其中一邊推。某一項為什麼被清空，見第 6 章的「納入所需 alpha」。

分散係數

第 6 章的分散，前提是預期報酬準確。預期報酬估不準時，最佳化會追著估得最高的那幾項跑，分散係數就是補這個缺口。第 7 章說過，預期報酬的估計誤差很大。所以貝塔再從目標函數扣掉一小項 $\kappa \sum_i w_i^2$（$\kappa = 0.01$，叫「分散係數」）：一項資產佔 30% 時，每年扣 $0.01 \times 30\%^2 =$ 0.09%，愈集中扣愈多。它等於假設每項資產都多帶了一份彼此獨立的估計誤差，分散開來就互相抵銷，集中就不會。效果是把比例往平均拉一點。借款不扣這一項：借款利率是合約寫死的，沒有估計誤差，要借多少交給回撤承受度去管。

隱含 alpha

第 6 章的納入所需 alpha 問的是被模型清空的那一項。同一個問題也可以拿來問你自己持有的部位：

• 隱含 alpha：你持有的這一項，alpha 要多大，模型才會選你現在的比重。
• 例如你持有某一檔佔 20%，模型只選 8%，隱含 alpha 是 +3%：要維持 20%，你得相信它每年比模型估的多賺 3%。
• 數字愈大，表示維持現狀需要的把握愈大；負的代表就算它比模型估的差，現在的比重仍然說得通。分析分頁的「該分散還是集中」會列出它。

兩個數字問的都是「要比模型多相信多少」，差別只在要達到哪一個比例：

鎖住的部位與上限

兩種限制：

• 鎖住：封閉期不能賣的股票、不想動的緊急備用金，模型只會加不會減。
• 上限：任何一項都可以設。

這些限制會讓答案離理論上的最佳點遠一點，那是你自己的條件，模型照做。分析分頁的「為什麼是這個比例」會一條一條拿掉這些設定，看它們各自讓配置移動多少。

分析分頁的「該分散還是集中」有鎖住的部位時，會另外算全部解鎖之後目標比例會怎麼改。

附錄名詞對照

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